DYNA JOURNAL ENGINEERING

Key words:

[No data]

Article type:

TRANSCRIPCION

Section:

VARIOUS

Un desafío se lanza en Europa a los matemáticos: encontrar la curva que ofrece el descenso más rápido para un móvil sometido sólo a su peso. Un problema simple, pero cuya solución exige dominar todas las sutilezas del cálculo de variaciones. a entrega de junio 1696 de las Acta eruditorum contiene el “problema nuevo” siguiente, seguido de una invitación a los matemáticos para resolverlo: “Dados dos puntos A y B en un plano vertical, determinar la curva AMB a lo largo de la cual un móvil M, abandonado en A, desciende bajo la acción de su propio peso y llega al otro punto B en el menor tiempo posible”. (Fig. 1) Fue Jean Bernoulli quien hizo insertar este problema en las Actas de Leipzig. Advierte a sus lectores que la recta no es la curva buscada, si bien sea el camino más corto entre A y B. Y, por tanto, ¡la solución es una curva bien conocida por los geómetras! Bernoulli se propone “descubrirla si, antes de fin de año, nadie lo hiciera”. Añadimos algunas hipótesis suplementarias, necesarias para que el problema tenga sentido. Los puntos A y B no deben estar situados ni sobre una misma vertical ni sobre una misma horizontal. Es preciso hacer abstracción de las fuerzas de enlace y admitir que el punto material se desliza sin rozamiento a lo largo del perfil que se busca. Detengámonos ahora un momento para comprender por qué la línea recta no resuelve el problema. La recta minimiza el camino a recorrer para ir de A a B, indica, pues, el descenso más corto, pero es “el más rápido descenso” – para utilizar la terminología francesa del siglo XVIII – lo que se busca. Se trata, pues, de minimizar no el camino sino el tiempo de caída a lo largo de la curva. Ello significa que se toma en cuenta la velocidad del móvil. Y ésta no es constante a lo largo del perfil. Así, una pendiente muy fuerte al inicio y que irá en seguida atenuándose podrá proporcionar al móvil una velocidad suficiente para compensar la longitud del camino a recorrer. Digamos ya que un arco de cicloide invertida ofrece este perfil. Su base será horizontal, su origen se encontrará en el punto dado más elevado y el diámetro del circulo generador será tal que la cicloide pasa por el segundo punto dado.